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OBM N3 2007 F2

Solução dos problemas da OBM n3 2007 f2. 01. Quantos divisores positivos do número 123456 são menores que 2007? 02. Considere o conjunto A dos pares ordenados (x;y) de reais não negativos tais que x + y = 2. Se a probabilidade de um elemento de A escolhido aleatoriamente estar a uma distância da origem menor ou igual a é p, quanto vale... 03. Qual é a soma dos algarismos do inteiro mais próximo de 04. O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio do lado AC. Se AOI = 45, quanto mede, em graus, o ângulo ACB? 05. Um quadrado 4 por 4 é dividido em 16 quadrados unitários. Cada um dos 25 vértices desses quadrados deve ser colorido de vermelho ou azul. Ache o número de colorações diferentes tais que cada quadrado unitário possua exatamente dois vértices vermelhos. PROBLEMA 1 Ache todos os pares (x, y) de inteiros positivos tais que 2(x + y) + xy = x^2 + y^2. PROBLEMA 2 Encontre todos os números n de seis algarismos da forma AAABBB, em que A e B são algarismos diferentes e não nulos e n + 1 é um quadrado perfeito. PROBLEMA 3 No quadrilátero convexo ABCD, A + B = 120 graus, AD = BC = 5 e AB = 8. Externamente ao lado CD, construímos o triângulo eqüilátero CDE. Calcule a área do triângulo ABE. PROBLEMA 4 Em um certo país há 21 cidades e o governo pretende construir n estradas (todas de mão dupla), sendo que cada estrada liga exatamente duas das cidades do país. Qual o menor valor de n para que, independente de como as estradas sejam construídas, seja possível viajar entre quaisquer duas cidades (passando, possivelmente, por cidades intermediárias)?