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Correção da Prova da OBMEP Nível 2 (8° e 9° anos) - 2024

Resolução da Prova da OBMEP Nível 2 (8° e 9° anos) - 2024, realizada no dia 4 de junho. Questão 1 – 0:20 Questão 2 – 2:24 Questão 3 – 6:38 Questão 4 – 10:05 Questão 5 – 14:56 Questão 6 – 18:42 Questão 7 – 22:18 Questão 8 – 27:56 Questão 9 – 43:44 Questão 10 – 46:14 Questão 11 – 55:40 Questão 12 – 1:02:59 Questão 13 – 1:09:00 Questão 14 – 1:12:01 Questão 15 – 1:21:34 Questão 16 – 1:26:13 Questão 17 – 1:33:16 Questão 18 – 1:40:46 Questão 19 – 1:47:28 Questão 20 – 1:58:23 1. Quantos quadrados têm seus lados sobre as linhas do quadriculado, mas não contêm o quadradinho cinza? 2. Os números de 1 a 50 foram escritos numa linha zigue-zague, de acordo com o padrão indicado na figura. 3. Na adição a seguir, as letras A, B, C e D representam algarismos diferentes de zero. Qual é o valor de A + B + C + D? 4. A figura apresenta uma malha triangular formada por triângulos equiláteros pequenos, cada um com área igual a 1 cm2. Qual é a área, em centímetros quadrado, da região cinza? 5. Uma formiga e uma aranha partem juntas do ponto indicado no quadriculado de 5 em 5 metros, no sentido horário, e caminham sempre 1 metro por minuto. A formiga anda na borda do quadriculado e a aranha na borda da região cinza, até retornarem ao ponto de partida. Durante quanto tempo elas andarão juntas, lado a lado? 6. A figura representa uma régua especial na qual as distâncias entre tracinhos consecutivos são iguais. 7. Na figura observamos três caminhos A, B e C, destacados em vermelho. Eles ligam o topo de uma pirâmide regular de base quadrada a um vértice em sua base, passando por arestas e trechos paralelos à base. 8. Ladrilhos quadrados com 1 metro de lado, como o da figura, foram utilizados para fazer um piso retangular. Quando se juntam quatro desses ladrilhos com um vértice em comum, sem sobreposição, forma-se um quadrado preto central. Se o piso mede 40 metros por 50 metros, qual é o número de quadrados pretos formados nesse piso? 9. Amauri montou o sólido abaixo usando cubinhos. Ele colocou mais um cubinho nesse sólido o olhou de cima. 10. A figura é formada por quatro retângulos idênticos que se sobrepõe formando três quadrados. O lado maior de cada retângulo mede a cm e o lado maior mede b cm. 11. Pedro tem uma folha de papel com o formato de um triângulo equilátero de 32 cm de lado. Ele cortou três triângulos equiláteros dos cantos da sua folha, como na figura, e o hexágono resultante ficou com 56 cm de perímetro. 12. O trenzinho da OBMEP tem 70 metros de comprimento e anda com velocidade constante. Ele demora um minuto para passar completamente pela entrada de um túnel e, depois que passou, dez minutos para começar a sair do túnel. Qual é o comprimento do túnel? 13. Quatro blocos retangulares de madeira idênticos são colocados em uma mesa e no chão, de acordo com a figura. Qual é a medida, em centímetros, da altura da mesa? 14. Pascoal colocou os números 5, 6, 7, 8 e 9 nas casas do tabuleiro abaixo, um número em cada casa, sem repetir números nas linhas e nas colunas. Em seguida, e somou os oito números colocados na primeira e na última coluna. 15. A formiguinha da OBMEP mora em um formigueiro com túneis horizontais e verticais, conforme mostrado na figura. Quantos são os caminhos possíveis para a formiguinha ir do ponto a ao ponto B, sempre percorrendo os túneis verticais de cima para baixo e sem passar mais de uma vez pelo mesmo lugar nos túneis horizontais? 16. Jessé tem três dados com faces numeradas de 1 a 6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ele empilhou os dados de tal forma que os números em cada par de faces em contato somam 5 e o número 1 ficou visível, como indicado na figura. Qual é o número que ficou na face superior da pilha? 17. As figuras mostram as vistas de frente, de cima e da esquerda de um sólido montado com cubos iguais. Quantos cubos tem esse sólido? 18. Ana, bia e Carla visitaram a floricultura de seu bairro. O vendedor separou as 5 flores mostradas na figura e disse que iria presentear cada uma com uma dessas flores. Carla escutou a seguinte conversa entre Bia e Ana.: – Bia disse: “Oi Ana, eu e Carla sabemos a cor de cada uma das flores que vamos ganhar, mas nem eu nem ela sabemos as quantidades de pétalas das flores que cada uma de nós irá ganhar”. – Ana disse: “Eu sei a quantidade de pétalas da flor que vou ganhar, mas não sei a cor”. A partir dessa conversa, Carla descobriu a flor que Ana vai ganhar. Qual é essa flor? 19. A figura é formada por quatro quadrados, o primeiro com diagonal AB e os demais construídos sobre a diagonal do anterior. O segmento AB mede 1 cm. Qual é a área, em cm2, do triângulo sombreado? 20. Uma competição de matemática consiste de uma prova com três problemas. Cada aluno pode obter nota 0, 1 ou 2 em cada problema. Após a correção das provas, constatou-se que não existiam dois alunos com notas iguais nos mesmos dois problemas. Qual é o número máximo de alunos que podem ter participado da competição?