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N. Chevaugeon : Régularisation de Lipschitz de l’endommagement pour la modélisation de la rupture

L’approche "Lip-field" est une technique de régularisation pour les modèles de matériaux endommageables. Elle a été présentée pour la première fois dans [1] où le cas uni-dimensionnel quasi-statique était analysé et simulé pour des matériaux élastiques et elasto-plastiques endommageables. L’approche a été étendue et implémentée en deux dimensions [2]. Depuis, elle a été appliquée à des problèmes de fragmentation dynamique et a des problèmes visco-élastiques. Dans le modèle Lip-field, le problème mécanique est formulé comme une minimisation d’un potentiel incrémental, fonction des champs de déplacement, de variables internes ’classiques’ et d’une variable interne d’endommagement d, cette dernière étant responsable de l’adoucissement et donc de la localisation. Le potentiel est supposé convexe séparément en déplacement et variables internes classiques d’un côté et en d de l’autre. Contrairement aux approches "phase-field", le potentiel lui-même ne contient pas de terme de régularisation et est essentiellement identique à celui obtenu dans une approche purement locale. En particulier il ne contient pas de termes dépendant des variations en espace du champ d, comme son laplacien, que l’on trouve par exemple dans les modèles phase-field [3, 4]. Dans l’approche proposée, la régularisation est obtenue par l’ajout d’une contrainte de continuité de Lipschitz sur la variable adoucissante. En d’autres mots, une longueur caractéristique l est ajoutée au modèle en imposant que l’écart d’endommagement entre deux points matériels, divisé par la distance séparant ces deux points, soit inférieur à l’inverse de la longueur caractéristique. Cette contrainte définit un sous espace admissible pour le champ d qui est convexe. Toutes les autres variables étant fixées, la minimisation du potentiel incrémental est donc un problème bien posé de minimisation convexe sous contraintes convexes. Cette propriété suggère naturellement un schéma de minimisation alternée qui minimise itérativement à d fixé, puis à toutes les autres variables fixées. La minimisation à d fixé conduit à la résolution d’équations d’équilibres classiques, la minimisation sur d à un problème d’optimisation convexe, sous contraintes convexes. Dans cette présentation, nous détaillerons le modèle lip-field ainsi que son implémentation numérique, discuterons de ses avantages et inconvénients, présenterons quelques applications à la fissuration et ferons le point sur les développements en cours. [1] Moës, N. and Chevaugeon, N. Lipschitz regularization for softening material models : The Lip-field approach. Comptes Rendus - Mécanique, (2021) 349 : 415–434. [2] Chevaugeon, N. and Moës, N. Lipschitz regularization for fracture : the Lip-field approach. preprint-arxiv, (2021), https ://arxiv.org/abs/2111.04771 [3] Amor, H., Marigo, J.-J. and Maurini, C. Regularized Formulation of the Variational Brittle Fracture with Unilateral Contact : Numerical Experiments, J. of the Mech. and Phys. of Sol., (2009) 57 : 1209–1229 [4] Miehe, C. and Welschinger, F. and Hofacker, M., Thermodynamically Consistent Phase-Field Models of Fracture : Variational Principles and Multi-Field FE Implementations, Int. J. For Num. Meth. in Eng., (2010), 83 : 1273–1311